ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110094
Темы:    [ Целочисленные решетки (прочее) ]
[ Выпуклые многоугольники ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом многоугольнике на плоскости содержится не меньше  m² + 1  точек с целыми координатами.
Докажите, что в нём найдутся  m + 1  точек с целыми координатами, которые лежат на одной прямой.


Решение

По принципу Дирихле среди  m² + 1  точек с целыми координатами найдутся такие две точки  (k, l)  и  (k1, l1),  что  k ≡ k1 (mod m)  и  l ≡ l1 (mod m).  Тогда точки     0 ≤ i ≤ m,  имеют целые координаты и лежат на отрезке, соединяющем точки  (k, l)  и  (k1, l1).

Замечания

Утверждение справедливо для выпуклого многогранника в пространстве с заменой  m² + 1  на  m³ + 1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2002
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 02.4.10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .