ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110122
Темы:    [ Монотонность, ограниченность ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Функции  f(x) – x  и  f(x²) – x6  определены при всех положительных x и возрастают.
Докажите, что функция     также возрастает при всех положительных x.


Решение

  Далее все функции рассматриваются только на положительной полуоси. Заметим, что возрастание функции g(xn) эквивалентно возрастанию функции g(x), а возрастание функции вида  f(x) – g(x)  эквивалентно условию  f(x) – f(y) > g(x) – g(y)  при  x > y.
  Итак, нам нужно доказать, что     при  x > y.
   Заметим, что  4(x² + xy + y²) = 3(x + y)² + (x – y)² ≥ 3(x + y)².  Следовательно,     Умножив на  x – y,  получаем, что     при  x > y.

  В силу возрастания указанных в условии функций  f(x) – f(y) > max {x – y, x³ – y³},  и нужное неравенство доказано.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2003
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 03.4.11.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .