ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110154
Темы:    [ Системы точек ]
[ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ]
[ Наименьший или наибольший угол ]
[ Метод координат на плоскости ]
[ Пересекающиеся окружности ]
[ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости отмечено N 3 различных точек. Известно, что среди попарных расстояний между отмеченными точками встречаются не более n различных расстояний. Докажите, что N (n+1)2 .

Решение

Пусть A1 , A2 , AN – отмеченные точки, и каждое из расстояний AiAj (1 i < j N) равно одному из n фиксированных чисел r1 , r2 , , rn . Это означает, что для каждого i (1 i N) все отмеченные точки, кроме Ai , лежат на одной из n окружностей O(Ai, r1), O(Ai, r2), .. , O(Ai, rn) (через O(X,r) мы обозначаем окружность радиуса r с центром в точке X ).

Введем на плоскости систему координат так, что оси координат не параллельны прямым AiAj (1 i < j N) . Рассмотрим отмеченную точку с наименьшей абсциссой, пусть это точка A1 . Среди прямых A1A2, A1A3, .. , A1AN найдем прямую (или одну из прямых) с наибольшим угловым коэффициентом, пусть это прямая A1A2 . Точки A3, A4, .. , AN лежат в одной полуплоскости α относительно прямой A1A2 .

По условию каждая из точек A3, A4, .. , AN является точкой пересечения окружностей O(A1, rk) и O(A2,rl) для некоторых k,l {1,2,.. , n} . Каждая из n2 пар таких окружностей имеет не более одной точки пересечения, принадлежащей полуплоскости α .

Следовательно, среди N-2 точек A3, A4, .. , AN имеется не более n2 различных. Отсюда N-2 n2 , и N n2+2 (n+1)2 .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 04.4.10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .