ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110155
Темы:    [ Свойства коэффициентов многочлена ]
[ Целочисленные и целозначные многочлены ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Теорема Виета ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Уравнение  xn + a1xn–1 + ... + an–1x + an = 0  с целыми ненулевыми коэффициентами имеет n различных целых корней.
Докажите, что если каждые два корня взаимно просты, то и числа an–1 и an взаимно просты.


Решение

  Пусть an–1 и an имеют общий простой делитель p, то есть  an–1 = pm,  an = pk.  Пусть  x1, x2, ..., xn  – корни уравнения. По формулам Виета
x1x2...xn = ± an = ± pk,  x1x2...xn–1 + x1x2...xn–2xn + ... + x2 x3...xn = ± an–1 = ± pm.
  Из первого равенства вытекает, что один из корней (пусть x1) делится на p. Тогда во втором равенстве все слагаемые левой части, кроме x2x3...xn, делятся на p. Значит, x2x3...xn также делится на p, то есть хотя бы один из корней  x2, x3, ..., xn  не взаимно прост с x1. Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2004
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 04.4.10.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .