Задача 110205
|
|
 |
Условие
Докажите, что если натуральное число N представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, делящихся на 3, то оно также представляется в виде суммы трёх квадратов целых чисел, не делящихся на 3.
Решение
Из условия следует, что число N можно представить в виде 9n(a² + b² + c²), где одно из чисел a, b, c не кратно 3. Согласно решению задачи 110218 число 9(a² + b² + c²) можно представить в виде x² + y² + z², где x, y, z не кратны 3. Исходное число, тем самым, запишется в виде 9n–1(x² + y² + z²). Продолжая, будем понижать степень девятки, пока она нае станет равной нулю.
