ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110209
Темы:    [ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Доказательство от противного ]
[ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны  n > 1  приведённых квадратных трёхчленов  x² – a1x + b1,  ...,  x² – anx + bn,  причём все 2n чисел  a1, ..., an, b1, ..., bn  различны.
Может ли случиться, что каждое из чисел  a1, ..., an, b1, ..., bn  является корнем одного из этих трёхчленов?


Решение

Предположим, что это так. Поскольку все 2n коэффициентов различны, то они и составляют всё множество корней наших трёхчленов, причём у каждого из них два корня. Пусть xi, yi – корни трёхчлена  x² – aix + bi.  Тогда   ai = xi + yi,  bi = xiyi  и
  Следовательно,     Далее,
  Поэтому  
Значит,     то есть все коэффициенты bi равны нулю. Это противоречит тому, что они различны.


Ответ

Не может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 10
задача
Номер 06.4.10.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .