|
|
 |
Условие
При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a + b и an + bn – целые?
Решение
Если n нечётно, то положим a = ½, b = ½ (2n – 1) . Тогда a + b = 2n–1, а an + bn = (a + b)(an–1 – an–2b + ... + bn–1). Знаменатель дроби в скобках равен 2n–1, поэтому число an + bn также целое.
Пусть n чётно. Предположим, что требуемые числа a, b нашлись. Так как их сумма целая, то знаменатели в их несократимой записи равны, то есть их несократимая запись такова: a = p/d, b = q/d; при этом p + q кратно d.
Поскольку число целое, то pn + qn делится на d. Но pn + qn = (pn – qn) + 2qn, причём pn – qn делится на кратное d число
p² – q² = (p + q)(p – q). Значит, 2qn делится на d. Поскольку дробь q/d несократима, то 2 делится на d, то есть d = 2. Но тогда pn и qn – квадраты нечётных чисел, следовательно, дают остаток 1 при делении на 4. Поэтому pn + qn не делится на 4 и, тем более, на 2n. Противоречие.
Ответ
При всех нечётных n.
