ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110220
Темы:    [ Выигрышные и проигрышные позиции ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3+
Классы: 6,7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Двое играют в такую игру. В начале по кругу стоят числа 1, 2, 3, 4. Каждым своим ходом первый прибавляет к двум соседним числам по 1, а второй меняет любые два соседних числа местами. Первый выигрывает, если все числа станут равными. Может ли второй ему помешать?


Решение

  Докажем, что второй может добиться того, чтобы перед каждым ходом первого чётные и нечётные числа чередовались. Тогда этим ходом первому не удастся сделать все числа равными, и он не выиграет.
  Заметим, что изначально чётные и нечётные числа чередуются.
  После любого хода первого игрока получим подряд два чётных и два нечётных числа. Второй меняет чётное и соседнее с ним нечётное число местами. После этого хода чётные и нечётные числа чередуются (см. рис.).


Ответ

Может.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 06.4.8.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .