ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110223
Темы:    [ Четность и нечетность ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На доске записано произведение a1a2... a100, где a1, ..., a100 – натуральные числа. Рассмотрим 99 выражений, каждое из которых получается заменой одного из знаков умножения на знак сложения. Известно, что значения ровно 32 из этих выражений чётные. Какое наибольшее количество чётных чисел среди a1, a2, ..., a100 могло быть?


Решение

  Рассмотрим самое левое чётное число ai и самое правое чётное число ak. Заметим, что чётными являются все суммы с номерами от i до  k – 1  и только они (в суммах с меньшими номерами первое слагаемое нечётно, а второе чётно; в суммах с большими номерами – наоборот).
  Таким образом,  k – i = 32.  Количество чётных чисел будет наибольшим, если все числа между ai и ak также чётны. В этом случае количество чётных чисел будет равно 33.


Ответ

33 числа.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 8
задача
Номер 06.4.8.5
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2006
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
задача
Номер 06.4.9.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .