Задача 110292

Темы:    [ Сфера, вписанная в многогранный угол ] [ Касательные к сферам ] [ Симметрия относительно плоскости ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Докажите, что если в четырёхгранный угол можно вписать сферу, то суммы противоположных плоских углов этого четырёхгранного угла равны.

Решение

  Пусть сфера с центром O касается граней APB, BPC, CPD и APD четырёхгранного угла PABCD с вершиной P в точках K, L, M и N соответственно. Точки K и N симметричны относительно плоскости APO, поэтому  ∠APK = ∠APN.

  Аналогично  ∠BPK = ∠BPL,  ∠CPL ∠CPM,  ∠DPM = ∠DPN.  Следовательно,
∠APD + ∠CPD = (∠APK + ∠BPK) + (∠CPM + ∠DPM) = (∠APN + ∠BPL) + (∠CPL + ∠DPN) = (∠BPL + ∠CPL) + (∠APN + ∠DPN) = ∠BPC + ∠APD.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8390