Условие
На ребре единичного правильного тетраэдра взята точка, которая
делит это ребро в отношении 1:2. Через эту точку провежены две
плоскости, параллельные двум граням тетраэдра. Эти плоскости
отсекают от тетраэдра две треугольные пирамиды. Найдите объём
оставшейся части тетраэдра.
Решение
Высота правильного тетраэдра со стороной 1 равна
, площадь основания равна
.
Следовательно, если
V – объём такого тетраэдра, то
V = 
· · =
.
Пусть точка
M лежит на ребре
CD данного правильного тетраэдра
ABCD , причём
= 
. Первая плоскость проходит
через точку
M параллельно плоскости
ABC . Она отсекает от данного тетраэдра подобный ему тетраэдр,
причём коэфиициент подобия равен
= . Значит, объём
отсечённого тетраэдра равен
(
)
3
· V = 
V .
Вторая плоскость проходит через точку
M параллельно плоскости
ABD . Она
отсекает от данного тетраэдра подобные ему тетраэдр, причём коэффициент подобия
равен
= 
. Значит, объём отсечённого тетраэдра равен
(
)
3
· V = 
V . Следовательно, объём оставшейся
части тетраэдра равен
V - V - V = V - V = V =
· = 
.
Ответ
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8455 |
