ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110409
Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Площади граней ABC и ADC тетраэдра ABCD равны P и Q , двугранный угол между ними равен α . Найдите площадь треугольника, по которому биссекторная плоскость указанного угла пересекает тетраэдр.

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если V – объём тетраэдра, S1 и S2 – площади двух граней, a – длина их общего ребра, ϕ – величина двугранного угла между ними, то V = · . Пусть ребро AB тетраэдра ABCD равно a (рис.1), угол между гранями ABC и ABD равен ϕ , SΔ ABC = S1 , SΔ ABD = S2 . Если DH – высота тетраэдра, опущенная на основание ABC , а HK – перпендикуляр, опущенный из точки H на AB , то по теореме о трёх перпендикулярах DK AB , значит, DKH – линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре AB . Поэтому DKH = ϕ . Тогда

V=VABCD = SΔ ABC· DH = S1· DK sin ϕ = S1· · sin ϕ= · .

Утверждение доказано. Перейдём к нашей задаче (рис.2). Пусть M – точка пересечения укзанной биссекторной плоскости с ребром BD , S – площадь треугольника AMC . Применяя доказанную формулу к тетраэдрам ABCD , MABC и MACD , получим, что
VABCD = · , VMABC = · , VMACD = · ,

а т.к. VABCD = VMABC +VMACD , то
· = · + · .

Из этого уравнения находим, что
S= = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8595

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .