ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110410
Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Двугранный угол ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В основании пирамиды ABCD лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB=4 . Высота пирамиды равна 2, а её основание совпадает с серединой AC . Найдите двугранный угол между гранями ABD и ADC .

Решение

Треугольник ABC – равнобедренный и прямоугольный, его гипотенуза AB равна 4, поэтому AC=BC= 2 и

SΔ ABC = · (2)2 = 4.

Пусть H – середина AC , а K – проекция точки H на гипотенузу AB . Тогда DH = 2 , а HK = 1 как половина высоты CL треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников DKH и ADH находим, что
DK = = = , AD = = = .

Тогда
SΔ ADC = AC· DH = · 2 · 2 = 2.

Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что DK AB , поэтому
SΔ ABD = AB· DK = · 4· = 2.

Вычислим объём пирамиды двумя способами. С одной стороны,
VABCD = SΔ ABC· DH = · 4· 2 = .

С другой стороны, если α – искомый угол между гранями ABD и ACD , то
VABCD=· = · = sin α.

Из уравнения
sin α=

находим, что sin α = .

Ответ

arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8596

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .