Задача 110410

Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

В основании пирамиды ABCD лежит равнобедренный прямоугольный треугольник ABC с гипотенузой AB=4 . Высота пирамиды равна 2, а её основание совпадает с серединой AC . Найдите двугранный угол между гранями ABD и ADC .

Решение

Треугольник ABC – равнобедренный и прямоугольный, его гипотенуза AB равна 4, поэтому AC=BC= 2 и

S_{Δ ABC} = · (2)2 = 4.
Пусть H – середина AC , а K – проекция точки H на гипотенузу AB . Тогда DH = 2 , а HK = 1 как половина высоты CL треугольника ABC . Из прямоугольных треугольников DKH и ADH находим, что
DK = = = , AD = = = .
Тогда
S_{Δ ADC} = AC· DH = · 2 · 2 = 2.
Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что DK AB , поэтому
S_{Δ ABD} = AB· DK = · 4· = 2.
Вычислим объём пирамиды двумя способами. С одной стороны,
V_ABCD = S_{Δ ABC}· DH = · 4· 2 = .
С другой стороны, если α – искомый угол между гранями ABD и ACD , то
V_ABCD=· = · = sin α.
Из уравнения
sin α=
находим, что sin α = .

Ответ

arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8596