ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110414
Темы:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
[ Двугранный угол ]
[ Теорема о трех перпендикулярах ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В основании пирамиды SABCD лежит прямоугольник ABCD , в котором AB=a , AD=b ; SC – высота пирамиды, CS=h . Найдите двугранный угол между плоскостями ABS и ADS .

Решение

Докажем сначала следующее утверждение: если V – объём тетраэдра, S1 и S2 – площади двух граней, l – длина их общего ребра, ϕ – величина двугранного угла между ними, то V = · . Пусть ребро MN тетраэдра KLMN равно l , угол между гранями MNL и MNK равен ϕ , SΔ MNK = S1 , SΔ MNL = S2 (рис.1). Если LH – высота тетраэдра, опущенная на основание MNK , а HP – перпендикуляр, опущенный из точки H на MN , то по теореме о трёх перпендикулярах LP MN , значит, LPH – линейный угол двугранного угла тетраэдра при ребре MN . Поэтому LPH = ϕ . Тогда

V=VKLMN = SΔ MNK· LH = S1· LP sin ϕ = S1· · sin ϕ= · .

Утверждение доказано. Перейдём к нашей задаче (рис.2). Из прямоугольных треугольников SCD , SCB и SCA находим, что
SD = = , SB = = ,


AS = = .

Из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что AB BS и AD DS . Тогда
SΔ ABS = AB· BS = a, SΔ ADS = AD· DS = b.

Обозначим через ϕ искомый угол и применим доказанное ранее утверждение к тетраэдру SABD . Получим равенство
VSABD = · ,

или
· ab· h = · .

Отсюда находим, что
sin ϕ = .

Заметим, что проекция точки B на плоскость ADS лежит вне треугольника ADS , поэтому ϕ > 90o . Значит, острый угол между плоскостями ABS и ADS равен 180o- arcsin .

Ответ

180o- arcsin .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8600

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .