ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110427
Тема:    [ Объем тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В основании пирамиды лежит прямоугольник. Все боковые рёбра равны. Плоскость пересекает боковые рёбра пирамиды, отсекая на них отрезки a , b , c и d (в порядке обхода и считая от общей вершины. Докажите, что += + .

Решение

Пусть плоскость пересекает боковые рёбра PA , PB , PC и PD четырёхугольной пирамиды PABCD в точках A1 , B1 , C1 и D1 соответственно, причём PA1=a , PB1=b , PC1=c , PD1=d . Обозначим PA=PB=PC=PD=t . Поскольку ABCD – прямоугольник, треугольники ABC и ADC равновелики, поэтому равновелики треугольные пирамиды PABC и PADC . Пусть VPABC= VPADC = V . Тогда

VPA1B1C1 = · · · VPABC = · · · V,


VPA1D1С1 = · · · VPABD = · · · V.

Значит,
VPA1B1C1 +VPA1D1С1= (abc+adc).

Аналогично,
VPA1B1D1 +VPB1C1D1= (abd+bdc).

таким образом,
(abc+adc) = (abd+bdc),

поэтому abc+adc= abd+bdc . Разделив обе части этого равенства почленно на произведение abcd , получим, что
+= +.

Что и требовалось доказать.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8613

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .