Задача 110431

Темы:    [ Площадь и ортогональная проекция ] [ Углы между биссектрисами ] [ Двугранный угол ]

Сложность: 3 Классы: 10,11

Условие

Основанием пирамиды SABC является прямоугольный треугольник ABC ( C – вершина прямого угла). Все боковые грани пирамиды наклонены к её основанию под одинаковым углом, равным arcsin . Найдите площадь боковой поверхности пирамиды, если SO – высота пирамиды, AO = 1 , BO = 3 .

Решение

Поскольку боковые грани пирамиды наклонены к её основанию под одинаковым углом, высота пирамиды проходит через центр окружности, вписанной в основание, т.е. точка O – центр вписанной окружности треугольника ABC (рис.1). Пусть эта окружность касается катетов AC и BC в точках K и L соответственно, а гипотенузы AB – в точке M . Поскольку OK AC , из теоремы о трёх перпендикулярах следует, что SK AC . Значит, SKO – линейный угол двугранного угло между боковой гранью ASC и основанием пирамиды. Обозначим SKO = β . Тогда SLO = SMO = β . По условию задачи sin β = . Тогда cos β = . Поскольку центр окружности, вписанной в треугольник, есть точка пересечения его биссектрис,

AOB = 90^o+ ACB = 90^o+45^o = 135^o.
Из треугольника AOB (рис.2) по теореме косинусов находим, что
AB= = = 5.
Пусть r – радиус вписанной окружности треугольника ABC . Тогда
S_{Δ AOB} = AB· r = r.
С другой стороны,
S_{Δ AOB} = OA· OB sin AOB = · 1· 3 · = .
Из уравнения r= находим, что r= . Тогда
AM=AK = = =,

BL=BM = AB-AM = 5-= , AC=AK+KC = +=,

BC = BL+LC = + = .
Пусть p – полупериметр треугольника ABC . Тогда
p= (AB+BC+AC) = (5++) = .
Значит,
S_{Δ ABC} = pr = · = .
Так как ортогональные проекции боковых граней пирамиды на плоскость основания – это треугольники AOB , AOC и BOC , причём плоскости боковых граней образуют с основанием равные углы, то боковая поверхность равна площади основания, делённой на косинус угла между боковой гранью и основанием, т.е.
S _бок. = = = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8617