ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110477
Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Расстояние между скрещивающимися прямыми ]
[ Отношение объемов ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 ( ABCD и A1B1C1D1 – основания, AA1|| BB1|| CC1|| DD1 ) отрезки M1N1 , M2N2 , M3N3 – общие перпендикуляры к парам отрезков A1C1 и AB1 , BC1 и AC , DC1 и AD1 соответственно. Объём параллелепипеда равен V , радиус описанной сферы равен R , а сумма длин рёбер AA1 , AB и AD равна m . Найдите сумму объёмов пирамид AA1M1N1 , ABM2N2 и ADM3N3 .

Решение

Обозначим = , = = , AD=a , AB=b , AA1=c . Из условия задачи следует, что

· = · = · =0, · =a2, · =b2, · =c2,



Пусть точка M1 лежит на прямой AB1 , а точка N1 – на прямой A1C1 . Обозначим , . Тогда
= + = +, = + = +,


= + + = -α + + β =


=-α(+)+(+)= β +(β-α)+(1),

а т.к. M1N1 AB1 и M1N1 A1C1 , то · =0 и · =0 , или

Учитывая, что
· = · = · =0, · =a2, · =b2, · =c2,

после очевидных упрощений получим систему

из которой находим, что

Объём тетраэдра равен одной шестой произведения длин двух его противоположных рёбер на расстояние между ними и на синус угла ϕ между ними, поэтому
VAA1B1D1 = AB1· A1C1· M1N1 sin ϕ,


VAA1M1N1 = AM1· A1N1· M1N1 sin ϕ= α AB1· β A1C1· M1N1 sin ϕ =


=α β VAA1B1D1 = α β V= · · · abc=


= · .

Аналогично,
VABM2N2 = · .


VADM3N3= · .

Значит,
VAA1M1N1+VABM2N2+VADM3N3 = · =


=· .

Из системы

получим, что
ab+ac+bc = ((a+b+c)2 - (a2+b2+c2)) = ,


a2b2+a2c2+b2c2 = (ab+ac+bc)2 - 2(a2bc+b2ac+c2ab) =


=(ab+ac+bc)2 - 2abc(a+b+c) = ()2-2Vm,


a4b4+b4c4+a4c4=(a2b2+b2c2+a2c2)2 - 2(a4b2c2+b4a2c2+c4b2c2)=


=(a2b2+a2c2+b2c2)2-2a2b2c2(a2+b2+c2)=


=(()2-2Vm)2-2V2· 4R2= (()2-2Vm)2-8V2R2.

Следовательно,
VAA1M1N1+VABM2N2+VADM3N3 = · =


=· =


=· = V - V3R2 (()2 - 2Vm)-2.


Ответ

V - V3R2 (()2 - 2Vm)-2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8673

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .