Задача 110494

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Углы между прямыми и плоскостями ] [ Площадь сферы и ее частей ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В прямоугольном параллелепипеде проведена плоскость, которая проходит через его диагональ, образует углы 45^o и 30^o со сторонами основания и параллельна диагонали основания параллелепипеда. Чему равна площадь проверхности сферы, описанной около параллелепипеда, если расстояние от этой плоскости до диагонали основания равно l ?

Решение

Пусть плоскость α проходит через диагональ AC1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 параллельно диагонали BD основания ABCD . Плоскость основания ABCD проходит через прямую BD , параллельную секущей плоскости α , поэтому прямая m пересечения плоскости α с плоскостью этого основания параллельна прямой BD . Пусть прямая m пересекает прямые BC и CD в точках P и Q соответственно. Тогда PB=AD как противоположные стороны параллелограмма ADBP . Если прямые C1Q и DD1 пересекаются в точке N , а прямые C1P и BB1 – в точке M , то плоскость α пересекает параллелепипед по параллелограмму AMC1N . Из равенства треугольников BMP и B1MC1 (по стороне и двум прилежащим к ней углам) следует, что M – середина ребра BB1 . Аналогично, N – середина ребра DD1 . Пусть F – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую PQ , а H – основание перпендикуляра, опущенного из точки B на прямую MF . Тогда BH – перпендикуляр к плоскости α . Из условия задачи следует, что BH = l (поскольку прямая BD параллельна плоскости α , то расстояния от каждой точки этой прямой до плоскости α равны l ). Кроме того, HAB – угол бокового ребра AB с плоскостью α . По условию задачи HAB = 30^o . Из прямоугольного треугольника HAB находим, что AB = 2BH = 2l . Рассуждая аналогично, найдём, что AD = = l . Рассмотрим прямоугольный треугольник ABP . В нём

AB = 2l, PB = AD = l, AP = = l,

BF = = = .
Обозначим MFB = ϕ . Из прямоугольного треугольника BHF находим, что
sin ϕ = = = ,
а т.к. ϕ < 90^o , то ϕ = 60^o . Из прямоугольного треугольника MBF находим, что
MB = BF tg ϕ = · = 2l.
Тогда BB1=2BM = 4l . Пусть R – радиус сферы, описанной около параллелепипеда. Поскольку диагональ прямоугольного параллелепипеда есть диаметр этой сферы, а квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений,
4R2 = AB2+AD2+BB12 = 4l2+2l2 + 16l2 = 22l2.
Следовательно, если S – площадь поверхности сферы, то S=4π R2 = 22π l2 .

Ответ

22π l2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	8691