ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110751
Темы:    [ Выпуклые многоугольники ]
[ Выпуклый анализ и линейное программирование ]
[ Неравенства с площадями ]
[ Индукция в геометрии ]
[ Перенос помогает решить задачу ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
Сложность: 5+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждой стороне b выпуклого многоугольника P поставлена в соответствие наибольшая из площадей треугольников, содержащихся в P, одна из сторон которых совпадает с b. Докажите, что сумма площадей, соответствующих всем сторонам P, не меньше удвоенной площади многоугольника P.

Решение

Воспользуемся соображением:

1) если двигать одну из вершин (трех)(много)угольника с постоянной скоростью, то его площадь меняется тоже с постоянной скоростью.
2) линейная комбинация линейных функций тоже линейна.
3) линейная функция достигает максимума (минимума) на границе отрезка.

Пусть P - вершина M, и число сторон M не меньше 4, R, T - соседние с P вершины. Будем двигать P параллельно [RT]. Тогда при движении в любом из двух направлений вершина M выйдет на продолжение стороны P.

Применив эти соображения, сведем задачу к случаю, когда P лежит на продолжении одной из сторон M, т.е. один из углов M равен π.

Но в этом случае дело сводится к многоугольнику с меньшим числом вершин и завершается индукционным спуском.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Международная Математическая Олимпиада
Год
Год 2006
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .