Задача 110756
|
|
 |
Условие
Каждое ребро выпуклого многогранника параллельно перенесли на некоторый вектор так, что ребра образовали каркас нового выпуклого многогранника. Обязательно ли он равен исходному?Решение
Первое решение. Нет. Рассмотрим, например, правильный икосаэдр. Пять его граней, имеющие общую вершину, являются боковыми гранями правильной пятиугольной пирамиды. Центры этих граней образуют правильный пятиугольник, стороны которого параллельны сторонам основания пирамиды. Поэтому ребра икосаэдра параллельны ребрам додекаэдра, образованного центрами его граней. Следовательно, параллельно перенеся ребра икосаэдра, можно получить додекаэдр.
Второе решение. Рассмотрим призму ABCA'B'C' с
разносторонним треугольником ABC в основании. Пусть B1 –
середина BB' , а точки A1 и C1 расположены на ребрах AA'
и CC' так, что AA1=C'C1 (рис.10.5).
Тогда в многогранниках ABCA1B1C1 и A'B'C'A1B1C1 ребра удовлетворяют условию. Легко подобрать параметры так, чтобы все ребра в каждом из них были различными, а двугранный угол при AB – непрямым. Тогда эти многогранники не могут быть равными, так как двугранные углы при одинаковых ребрах AB и A'B' дополнительны и потому различны.
