ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110756
Темы:    [ Многогранники и многоугольники (прочее) ]
[ Выпуклые тела ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Параллельный перенос ]
[ Правильные многогранники (прочее) ]
Сложность: 5-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Каждое ребро выпуклого многогранника параллельно перенесли на некоторый вектор так, что ребра образовали каркас нового выпуклого многогранника. Обязательно ли он равен исходному?

Решение

Первое решение. Нет. Рассмотрим, например, правильный икосаэдр. Пять его граней, имеющие общую вершину, являются боковыми гранями правильной пятиугольной пирамиды. Центры этих граней образуют правильный пятиугольник, стороны которого параллельны сторонам основания пирамиды. Поэтому ребра икосаэдра параллельны ребрам додекаэдра, образованного центрами его граней. Следовательно, параллельно перенеся ребра икосаэдра, можно получить додекаэдр.

Второе решение. Рассмотрим призму ABCA'B'C' с разносторонним треугольником ABC в основании. Пусть B1 – середина BB' , а точки A1 и C1 расположены на ребрах AA' и CC' так, что AA1=C'C1 (рис.10.5).


Тогда в многогранниках ABCA1B1C1 и A'B'C'A1B1C1 ребра удовлетворяют условию. Легко подобрать параметры так, чтобы все ребра в каждом из них были различными, а двугранный угол при AB – непрямым. Тогда эти многогранники не могут быть равными, так как двугранные углы при одинаковых ребрах AB и A'B' дополнительны и потому различны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2007
Класс
Класс 10
задача
Номер 105

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .