Задача 110780

Темы:    [ Радикальная ось ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Касающиеся окружности ] [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Кожевников П.А.

Дана окружность и точка P внутри нее, отличная от центра. Рассматриваются пары окружностей, касающиеся данной изнутри и друг друга в точке P . Найдите геометрическое место точек пересечения общих внешних касательных к этим окружностям.

Решение

Пусть X – точка пересечения касательных. Проведем окружность с центром X и радиусом XP и рассмотрим инверсию относительно нее. При этой инверсии окружности, касающиеся в точке P , перейдут друг в друга, так как они касаются окружности инверсии и двух прямых, переходящих в себя. Следовательно, исходная окружность перейдет в себя. Значит, окружность инверсии ортогональна исходной, т.е. касательная из X к исходной окружности равна XP и X лежит на радикальной оси точки P и исходной окружности. Очевидно, что любая точка радикальной оси может быть получена таким образом, т.е искомое ГМТ совпадает с радикальной осью точки P и исходной окружности.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2006
Класс
Класс	10
задача
Номер	103