ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110807
Темы:    [ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Скалярное произведение. Соотношения ]
[ Метод усреднения ]
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На плоскости даны точки A1 , A2 , An и точки B1 , B2 , Bn . Докажите, что точки Bi можно перенумеровать так, что для всех i j угол между векторами и – острый или прямой.

Решение

Выберем на плоскости начало координат O и рассмотрим сумму S= . Выберем такую нумерацию точек Bi , что соответствующая сумма S максимальна. Рассмотрим теперь нумерацию точек B , в которой Bi и Bj обозначены Bj и Bi и ее сумму S' . По предположению максимальности S S' , но

S-S'=· + · - · - · 0.

Преобразуя, получим
(-)· (-)= AjAi· 0. (*)

Итак, в нумерации с максимальным S неравенство (*) выполняется для любых i и j . А это равносильно условию задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2003
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 11
задача
Номер 03.4.11.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .