ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110822
Темы:    [ Параллелограммы ]
[ Теорема о сумме квадратов диагоналей ]
[ Теорема косинусов ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD прямые l1 и l2 являются биссектрисами углов A и C соответственно, а прямые m1 и m2 – биссектрисами углов B и D соответственно. Расстояние между l1 и l2 в раз меньше расстояния между m1 и m2 . Найдите угол BAD и радиус окружности, вписанной в треугольник ABD , если AC= , BD=2 .
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть прямая l1 пересекает прямые m1 и m2 в точках K и N соответственно, а прямая l2 пересекает m1 и m2 сответственно в точках L и M . Тогда четырёхугольник KLMN – прямоугольник, т.к. углы между биссектрисами внутренних односторонних углов при параллельных прямых и секущей – прямые. Из прямоугольного треугольника KML находим, что tg KML = = , следовательно, KML = 30o . Пусть прямые l1 и BC пересекаются в точке P , а прямые l2 и AD – в точке Q . Тогда треугольник ABP – равнобедренный, т.к. его биссектриса BK является высотой. Значит, K – середина стороны AP параллелограмма APCQ . Аналогично, M – середина стороны CQ параллелограмма APCQ , значит, KM || BC , поэтому PCQ = KML = 30o , а BAD = BCD = 2 PCQ = 60o . Обозначим, AB=a , BC=b . По теореме косинусов из треугольника ABD находим, что BD2= AB2+AD2-2AB· AD cos 60o , или 4=a2+b2-ab . С другой стороны, по теореме о сумме квадратов диагоналей параллелограмма 2AB2+2BC2 = AC2+BD2 , или 2a2+2b2 = +4 = . Из системы


находим, что ab= . Тогда
a2+b2 = (a+b)2-2ab = ab+4, (a+b)2 = 3ab+4 = 5+4=9, a+b=3.

Пусть r – радиус окружности, вписанной в треугольник ABD . Тогда
r= = = = .



Также доступны документы в формате TeX

Ответ

, .
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5775

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .