Задача 110864

Темы:    [ Вспомогательная окружность ] [ Вписанные четырехугольники ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Биссектрисы внешних углов при вершинах B и C трапеции ABCD ( BC || AD ) пересекаются в точке P , а биссектрисы внешних углов при вершинах A и D – в точке Q . Прямые PB и PC пересекают прямую AD в точке E и F соответственно. Прямые AP и EQ пересекаются в точке M , а прямые PD и FQ – в точке N . Докажите, что MN || AD .

Решение

Пусть биссектрисы внешних углов при вершинах B и C трапеции ABCD пересекаются в точке X , а биссектрисы внешних углов при вершинах C и D – в точке Y . Поскольку треугольники BAE и CDF равнобедренные, точки X и Y – середины отрезков BE и CF , поэтому XY || EF . Кроме того, PXQ = PYQ = 90^o . Из точек X и Y отрезок PQ виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром PQ . Вписанные углы XPQ и XYQ этой окружности опираются на одну и ту же дугу, поэтому XPQ= XYQ , а т.к. XY || EF , то

EDQ = XYQ = XPQ = EPQ.
Из точек P и D , лежащих по одну сторону от прямой EQ , отрезок EQ виден под одним и тем же углом, значит, точки P , E , Q и D лежат на одной окружности. Вписанные углы DPQ и DEQ этой окружности опираются на одну и ту же дугу, поэтому DPQ = DEQ . Аналогично, точки P , A , Q и F также лежат на одной окружности и APQ = AFQ . Обозначим DPQ = DEQ = α , APQ = AFQ= β . Тогда MPN = APD = α+β . Из треугольника EQF находим, что
EQF = 180^o - QEF - QFE = 180^o-α-β.
Таким образом, MQN = EQF = 180^o-α-β и MPN = α+β , значит, точки P , M , Q и N лежат на одной окружности. Поэтому NMQ = NPQ = DEQ . Следовательно, MN || EF , т.е. MN || AB .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5728