ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110865
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Окружность с центром O , вписанная в четырёхугольник ABCD , касается сторон AB , BC , CD и AD в точках K , L , M и N соответственно. Отрезок KN делит OA пополам, отрезок KL делит OB пополам, а отрезок MN делит OD в отношении 1:3, считая от точки O . Найдите углы четырёхугольника ABCD .
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть отрезки OD и MN пересекаются в точке P . Обозначим OP=x , тогда DP=3x . Поскольку OD MN , отрезок MP – высота прямоугольного треугольника OMD , проведенная из вершины прямого угла, поэтому

OM = = = 2x.

Катет OP прямоугольного треугольника OPM равен половине гипотенузы OM , следовательно, OMP = 30o . Тогда MDO = 30o , а т.к. DO – биссектриса угла ADC , то ADC = 60o . Диагонали четырёхугольника AKON делятся точкой пересечения пополам, значит, этот четырёхугольник – параллелограмм, а т.к. AK=AN , то это ромб с прямым углом ANO , т.е. квадрат. Следовательно, BAD = 90o . Аналогично, ABC = 90o . Прямые AD и BC перпендикулярны одной и той же прямой AB , значит, BC || AD . Следовательно,
BCD = 180o- ADC = 180o-60o = 120o.



Также доступны документы в формате TeX

Ответ

60o , 120o , 90o , 90o .
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5729

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .