Задача 110964

Темы:    [ Удвоение медианы ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Медиана AM и биссектриса CD прямоугольного треугольника ABC  (∠B = 90°)  пересекаются в точке O.
Найдите площадь треугольника ABC, если  CO = 9,  OD = 5.

Решение

  На продолжении медианы AM за точку M отложим отрезок MK, равный AM. Тогда ABKC – параллелограмм. Обозначим  AB = c.  Треугольники AOD и KOC подобны (по двум углам), значит,  AD = KC·^OD/_OC = AB·^OD/_OC = ^5c/₉,  BD = AB – AD = ^4c/₉.
  По свойству биссектрисы треугольника  BC : AC = BD : AD = 4 : 5,  поэтому  AB : AC = 3 : 5,  то есть  BC = ^4c/₃.
  По теореме Пифагора  (^4c/₃)² + (^4c/₉)² = 14²  откуда  c² = ¹/₁₀·(⁶³/₂)².
  Следовательно,   S_ABC = ½·⁴/₃ c² = ¹³²³/₂₀.

Ответ

¹³²³/₂₀ .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5836