Задача 110984

Темы:    [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

В равнобедренный треугольник ABC  (AB = BC)  вписана окружность. Прямая, параллельная стороне BC и касающаяся окружности, пересекает сторону AB в такой точке N такой, что  AN = ⅜ AB.  Найдите радиус окружности, если площадь треугольника ABC равна 12.

Решение

  Пусть касательная пересекает основание AC в точке M, а окружность касается прямых MN, AB и AC в точках D, E и H соответственно. Обозначим
BC = AB = a,  AH = CH = b.  Тогда  AE = AH = b,  MD = MH,  ND = NE,  AE = AN + NE = AN + ND,  AH = AM + MH = AM + MD,  AE = AH.
  Если p' и p – полупериметры подобных треугольников ANM и ABC, то  p' = AE = AH = b,  p = AB + AH = a + b,  p' : p = AN : AB₁ = 3 : 8,  или
^b/_a+b = ⅜.  Отсюда  b = ^3a/₅.  Значит,  BH² = AB² – AH² = a² – (^3a/₅)² = (^4a/₅)²,  а так как  S_ABC = AH·BH,  то  12 = b·^4a/₅ = ^3a/₅·^4a/₅,  откуда  a = 5,  b = 3.  Пусть r – радиус вписанной окружности треугольника ABC. Тогда  r = ^S_ABC/_p = ¹²/_a+b = ³/₂.

Ответ

³/₂.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	5866