ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 110985
Темы:    [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Отрезок AD является биссектрисой прямоугольного треугольника ABC ( C = 90o) . Окружность радиуса проходит через точки A , C , D и пересекает сторону AB в точке E так, что AE:AB=3:5 . Найдите площадь треугольника ABC .

Решение

Окружность проходит через точки A , D и C , причём хорда AD видна из точки C под прямым углом, значит, AD – диаметр окружности. Поэтому AED = 90o . Пусть AE=3x , BE=2x . Из равенства прямоугольных треугольников ACD и AED (по гипотенузе и острому углу) следует, что AC=AE=3x . По теореме Пифагора

BC= = = 4x.

По свойству биссектрисы треугольника == , поэтому
CD=BC=· 4x=x.

По теореме Пифагора AD2 = AC2+CD2 , или 4· 15=9x2+ x2 , откуда находим, что x2= . Следовательно,
SΔ ABC = BC· AC = · 43x= 6x2 = 6· = 32.


Ответ

32.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 5867

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .