ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111040
Темы:    [ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Квадратные уравнения. Теорема Виета ]
[ Уравнения в целых числах ]
[ Алгебраические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Найдите все такие натуральные  (a, b),  что a2 делится на натуральное число  2ab2b3 + 1.


Решение

  Пусть  a2 = k(2ab2b3 + 1)  (k – натуральное число). По условию  2ab2b3 + 1 > 0,  откуда  ab/2.  Кроме того,  a2 > b2(2a – b).  Следовательно,  a > b  или  2a = b.     (*)
  У уравнения  a2 – 2kb2a + k(b3 – 1) = 0  два решения  a1a2,  причём  a1a2 = k(b3 – 1),  a1 + a2 = 2kb2.  Так как одно из решений – натуральное, то другое – целое неотрицательное. Тогда  a1kb2 > 0  и кроме того,  
Из условий (*) получаем, что  a2 = 0  либо  a2 = b/2.
  В первом случае  b = 1,  a1 = 2k.
  Во втором случае, подставляя в уравнение, получаем  b2 = 4k.  Значит,  k = n2b = 2na2 = na1 = 2kb2a2 = 8n4n.


Ответ

(2n, 1),  (n, 2n),  (8n4n, 2n),  где n – любое натуральное число.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Международная Математическая Олимпиада
год
Год 2003
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .