ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111042
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Теорема синусов ]
[ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]
[ Вспомогательная окружность ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Дан описанный четырёхугольник ABCD, P, Q и R – основания перпендикуляров, опущенных из вершины D на прямые BC, CA, AB соответственно. Докажите, что биссектрисы углов ABC, ADC и диагональ AC пересекаются в одной точке тогда и только тогда, когда  |PQ| = |QR|.


Решение

  Допустим, что биссектрисы углов ABC, ADC пересекаются с AC в точках L и M соответственно. Так как  AL : CL = AB : CBAM : CM = AD : CD,  совпадение точек L и M означает равенство  AB : CB = AD : CD  ⇔  AB·CD = CB·AD.
  Пусть  ∠CAB = α,  ∠ACD = γ.  Круги, построенные на DC и DA как на диаметрах содержат точки P, Q и Q, R соответственно. Следовательно,  угол PDQ равен γ или   π – γ,  а угол QDR равен α или  π – α.  Значит,  PQ = CD sin γ,  QR = AD sin α.  Таким образом, равенство  PQ = QR  равносильно условию  CD : AD = sin α : sin γ.  С другой стороны, по теореме синусов  sin α : sin γ = CB : AB.  Итак, равенство  PQ = QR  равносильно равенству
CD : AD = CB : AB,  то есть равенству  AB·CD = CB·AD,  что нам и требуется.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Международная Математическая Олимпиада
год
Год 2003
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .