|
|
 |
Условие
Пусть $x_1 \le \dots \le x_n$. Докажите неравенство $$\bigg( \sum \limits_{i,j=1}^n |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{2 (n^2-1)}{3} \sum \limits_{i,j=1}^n (x_i-x_j)^2.$$ Докажите, что оно обращается в равенство только если числа $x_1, \dots, x_n$ образуют арифметическую прогрессию.
Решение
При переходе к суммированию по $i < j$ левая часть уменьшится вчетверо, а правая – вдвое, поэтому достаточно доказать неравенство $$\bigg( \sum \limits_{1 \le i < j \le n} |x_i-x_j|\bigg)^2 \le \frac{n^2-1}{3} \sum \limits_{1 \le i < j \le n} (x_i-x_j)^2.$$
Заметим, что $$\sum \limits_{1 \le i < j \le n} (x_i-x_j) = -(n-1)x_1 - (n-3)x_2 - \dots + (n-1) x_n.$$ Согласно неравенству Коши-Буняковского квадрат правой части не превосходит произведения $\sum \limits_i x_i^2 \cdot \sum \limits_i (2i-1-n)^2$. А сумму в правой части исходного неравенства можно записать в виде $n \sum \limits_i x_i^2 - \bigg(\sum \limits_i x_i\bigg)^2$. При сдвиге всех $x_i$ на одно и то же число разности не меняются, поэтому можно считать, что $x_1 + \dots + x_n = 0,$ тогда сумма в правой части равна $n \sum \limits_i x_i^2$. Осталось заметить, что $$ \sum \limits_i (2i - 1 - n)^2 = 4 \sum \limits_i i^2 - 4 (n+1) \sum \limits_i i + n (n+1)^2 = $$ $$ = \frac{2n (n+1) (2n+1)}{3} - n (n+1)^2 = \frac{n (n+1)}{3} (4n + 2 - 3n - 3) = \frac{n(n^2-1)}{3}.$$ Как известно, в данной ситуации неравенство Коши-Буняковского превращается в равенство тогда и только тогда, когда числа $x_i$ пропорциональны числам $2 i - 1 - n$, то есть когда разность $x_i+1 - x_i$ постоянна. Это и означает, что $\{x_i\}$ – арифметическая прогрессия.
