ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111073
Темы:    [ Угол между касательной и хордой ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вписанная в треугольник ABC окружность радиуса 1 касается его сторон AB , BC и AC соответственно в точках K , M и N . Известно, что MKN = ABC = 45o . Найдите стороны треугольника ABC .

Решение

Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что

MNC = MKN = 45o, NMC = MKN = 45o.

Поэтому ACB = 90o . Значит, треугольник ABC – прямоугольный, а т.к. ABC = 45o , то этот треугольник – равнобедренный. Пусть O – центр вписанной окружности треугольника ABC . Обозначим AN=AK = x . Тогда
AB= 2x, AC = x+1, AC = AB sin 45o = x.

Из уравнения x+1=x находим, что
x= = +1.

Следовательно,
AB=BC = 2+, AC = 2+2.


Ответ

2+ , 2+ , 2+2 .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4428

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .