Условие
Найдите объём тетраэдра
ABCD с рёбрами
AB=3
,
AC=5
и
BD = 7
, если расстояние между серединами
M и
N его рёбер
AB и
CD равно 2, а прямая
AB образует равные углы с прямыми
AC ,
BD и
MN .
Решение
Достроим тетраэдр
ABCD до параллелепипеда
APBQECGD , проведя через его
противоположные рёбра пары параллельных плоскостей (
AE || PC ||
BG || QD ). Тогда
AE || MN ,
AE=MN = 2
.
На продолжении отрезка
CE за точку
E отложим отрезок
EF , равный
CE . Тогда
AFEP – параллелограмм, поэтому
AF || PE || BD и
AF=PE = BD = 7
.
Поскольку прямая
AB образует равные углы с прямыми
BD и
MN , она образует равные углы и с параллельными им прямыми
AF и
AE .
Значит, прямая
AB образует равные углы с прямыми
AF ,
AE и
AC , лежащими
в плоскости
AECP . Поэтому ортогональная проекция точки
B на эту плоскость
попадает на биссектрису каждого из углов между прямыми
AF и
AE ,
AF и
AC ,
AE и
AC . Следовательно, ортогональная проекция точки
B на плоскость
AECP
совпадает с точкой
A , т.е.
AB – перпендикуляр к этой плоскости. Значит,
AB – высота четырёхугольной пирамиды
BAECP , основание которой – параллелограмм
AEСP со сторонами
AE=CP= 2
и диагоналями
AC=5
и
EP=7
.
На продолжении ребра
AE за точку
E отложим отрезок
EH = AE=2
. Тогда
AH=2
AE = 4
,
CH=PE=7
, а
SAECP = SΔ AHC = 
=4
.
Заметим, что и объём тетраэдра
ABCD и объём пирамиды
BAECP равны третьей части объёма
параллелепипеда
APBQECGD . Следовательно,
VABCD = VBAEСP = 
SAECP· AB =
· 4· 3= 4.
Ответ
4
.
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
8631 |
