ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111145
Темы:    [ Объем тела равен сумме объемов его частей ]
[ Объем тетраэдра и пирамиды ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Выпуклый многогранник ABCDFE имеет пять граней: CDF , ABE , BCFE , ADFE и ABCD . Ребро AB параллельно ребру CD . Точки K и L расположены соответственно на рёбрах AD и BC так, что отрезок KL делит площадь грани ABCD пополам. Точка M является серединой ребра EF и вершиной пирамиды MABCD , объём которой равен 6. Найдите объём пирамиды EKLF , если известно, что объём многогранника ABCDFE равен 19.

Решение

Пусть E1 , M1 и F1 – ортогональные проекции точек соответственно E , M и F на плоскость параллельных прямых AB и CD . Тогда EE1 – высота четырёхугольной пирамиды EAKLB с вершиной E , MM1 – высота четырёхугольной пирамиды MABCD с вершиной M , FF1 – высота четырёхугольной пирамиды FCDKL с вершиной F . Обозначим EE1=a , MM1=b , FF1=c , SABCD = S . Из условия задачи следует, что VABCD = S· b = 6 . Поскольку M – середина отрезка EF , M1 – середина отрезка E1F1 . Поэтому

b = MM1 = (EE1+FF1) = .

Тогда
VEKLF = VABCDFE - VEAKLB-VFCDKL = 19-SABLK· a -SCDKL· c=


=19-(S· a + S· c)= 19- = 19-S· b =


=19-VMABCD = 19-6 = 13.


Ответ

13.00

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8637

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .