ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111147
Темы:    [ Свойства сечений ]
[ Объем помогает решить задачу ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На боковых рёбрах SA , SB и SC четырёхугольной пирамиды SABCD , основание которой есть квадрат, взяты соответственно точки A1 , B1 и C1 так, что SA1:SA=3:7 , SB1:SB = 2:7 и SC1:SC = 4:9 . Плоскость, проходящая через точки A1 , B1 и C1 пересекает ребро SD в точке D1 . Найдите отношение SD1:SD и отношение объёма пирамиды SA1B1C1D1 к объёму пирамиды SABCD .

Решение

Обозначим VSABCD = V , = x . Плоскость диагонального сечения SAC пирамиды разбивает её на две равновеликие пирамиды, поэтому VSABC = VSACD = V . Тогда

VSA1B1C1 = · · · VSABC = · · · V=V,


VSA1D1C1 = · · · VSADC = · x · · V=Vx.

Аналогично,
VSA1B1D1 = · · · VSABD = · · x· V=Vx,


VSB1D1C1 = · · · VSBDC = · x · · V=Vx,

а так как
VA1B1C1D1 =VSA1B1C1+VSA1D1C1 = VSA1B1D1+VSB1D1C1,

получим уравнение
V+Vx = Vx+Vx,

из которого находим, что x= . Тогда
VSA1B1C1D1 = VSA1B1C1+VSA1D1C1=


=V+Vx = (+)V= · V = V.


Ответ

; .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 8639

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .