ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111265
Темы:    [ Неравенства с площадями ]
[ Удвоение медианы ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Средняя линия трапеции ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC точка D – середина стороны AB . Можно ли так расположить точки E и F на сторонах AC и BC соответственно, чтобы площадь треугольника DEF оказалась больше суммы площадей треугольников AED и BFD ?

Решение

Первый способ.
Рассмотрим произвольный треугольник АВС с точками E и F на сторонах АС и ВС . Пусть С' – образ точки С , а F' – образ точки F при симметрии с центром в точке D (см. рис. 11.5.1). Тогда четырехугольник ACBС' – параллелограмм, а точка F' лежит на его стороне АС' . Так как ЕАF' = ЕАB + BAF' = CАB + CBA < 180o , то четырехугольник AEDF' – выпуклый (это следует также из того, что ЕАF – угол параллелограмма).
Треугольники AF'D и BFD равны, значит, SAEDF'=SAED+SAF'D= SAED+SBFD . Кроме того, так как D – середина отрезка FF' , то SDEF=SDEF' . Так как SAEDF'>SDEF' , то SAED+SBFD>SDEF , следовательно, указанным образом расположить точки невозможно.



Второй способ.
Воспользуемся вспомогательным утверждением: пусть в четырехугольнике АВСD А + В < 180o , тогда SBDA>SCDA (см. рис. 11.5.2). Действительно, в силу заданного условия, прямая, проходящая через точку С и параллельная стороне AD пересекает прямую АВ в точке Р , лежащей между А и В . Тогда SBDA>SPDA , а треугольники РDA и CDA равновелики, так как сторона AD у них общая и высоты, проведенные из вершин Р и С равны. Рассмотрим теперь конфигурацию, заданную в условии задачи (см. рис. 11.5.3). Пусть М – середина отрезка EF , точки Е' , M' и F' – ортогональные проекции точек Е , M и F на прямую АВ . Тогда MM' – средняя линия трапеции EFF'E' , поэтому MM'= . Следовательно, SAED+SBFD =+ = (EE'+FF')=AB· MM'=SAMB .







Проведем общую медиану MD треугольников АМВ и EDF . В четырехугольнике ADME рассмотрим сумму углов ЕАD и MDA , а в четырехугольнике BDMF – сумму углов FBD и MDB . Хотя бы одна из этих сумм меньше, чем 180o . Действительно, предположим противное, тогда ( EAD + MDA) + ( FBD + MDB) = ( EAB + FBA) + ( MDA + MDB) = CAB + CBA + 180o 360o , что невозможно, так как сумма двух углов треугольника меньше, чем 180o . Без ограничения общности можно считать, что EAD + MDA < 180o . Тогда в четырехугольнике ADME SADM>SEDM . Так как медиана треугольника делит его площадь пополам, то SAMB>SEDF , то есть указанным образом расположить точки нельзя.

Ответ

так расположить точки нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Дата 2008
класс
Класс 11
задача
Номер 2293576

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .