|
|
 |
Условие
Велосипедист путешествует по кольцевой дороге, двигаясь в одном направлении. Каждый день он проезжает 71 км и останавливается ночевать на обочине. На дороге есть аномальная зона длины 71 км. Если велосипедист останавливается в ней на ночлег на расстоянии y км от одной границы зоны, просыпается он в противоположном месте зоны, на расстоянии y км от другой её границы. Докажите, что в каком бы месте велосипедист ни начал своё путешествие, рано или поздно он остановится в нём на ночлег или же в нём проснётся.
Решение
Назовём точки трассы A и A' симметричными, если длина пути от точки A до одной границы зоны в одном направлении равна длине пути от точки A' до другой границы в противоположном направлении. Например, если велосипедист уснёт в точке аномальной зоны, то проснется он в симметричной точке. Удобно считать, что трасса представляет собой окружность, тогда имеем осевую симметрию относительно диаметра, выходящего из середины зоны.
Лемма. Если велосипедист стартует в некоторой точке, рано или поздно он заснёт в симметричной точке.
Доказательство. Пусть велосипедист стартовал в точке A0. Вечером он заснул в точке A1, на следующий вечер – в A2, и так далее до тех пор, пока на n-ю ночь он не заснул в аномальной зоне в точке An. Тогда просыпается он в точке A'n. Значит, этим вечером велосипедист засыпает в точке A'n–1, на следующий вечер – в точке A'n–2 и так далее, пока не заснёт в точке A'0.
Разберём 2 случая.
1) Велосипедист стартовал из точки A вне аномальной зоны. Тогда по лемме велосипедист однажды заснёт (и проснётся) в точке A', симметричной точке старта. Применив лемму к точке A', получим, что когда-нибудь велосипедист заснёт в точке A.
2) Велосипедист стартовал из точки A в аномальной зоне. По
лемме он однажды заснёт в точке A', симметричной точке старта. Проснётся же он в точке A (то есть схема его перемещений зацикливается).
