ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111338
Темы:    [ Выпуклые и невыпуклые фигуры (прочее) ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Равносоставленные фигуры ]
[ Площади криволинейных фигур ]
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Покажите, что существует выпуклая фигура, ограниченная дугами окружностей, которую можно разрезать на несколько частей и из них сложить две выпуклые фигуры, ограниченные дугами окружностей.

Решение

Первое решение. Разрезав криволинейный шестиугольник с дугами в качестве сторон, можно сложить криволинейный "квадрат" и линзу (рис.).


Второе решение. Рассмотрим трапецию ABCD , у которой AB=BC=CD=1 и площадь равна площади правильного треугольника со стороной 1. Известно, что из любого многоугольника, разрезав его на подходящие части, можно сложить любой другой многоугольник той же площади; разрежем трапецию на несколько многоугольников и сложим из них правильный треугольник. Проведем теперь дугу окружности через вершины трапеции. Отрезав от сегмента, ограниченного дугой и отрезком AD , три маленьких сегмента по сторонам трапеции AB, BC, CD (рис.) и приставив их к сторонам правильного треугольника, получим выпуклую фигуру F (рис.), ограниченную тремя дугами окружностей. Таким образом, фигуру, составленную из двух таких сегментов, симметричных относительно общей хорды (рис.), можно разрезать на части и сложить из них две фигуры, равных F .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 71
Год 2008
вариант
Класс 9
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .