Задача 111440

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Острый угол прямоугольного треугольника равен α , а радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений двух катетов, равен R . Найдите длину гипотенузы этого треугольника.

Решение

Пусть данная окружность с центром O касается продолжения катета AC прямоугольного треугольника ABC в точке M , а острый угол BAC равен α . Обозначим гипотенузу AB через x . Тогда

AC = AB cos α = x cos α, CM = OM = R, AM = CM-AC=R- x cos α.
Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
OAM = = 90^o - .
Из прямоугольного треугольника OAM находим, что
AM = OM ctg (90^o - ) = R tg = R· .
Из уравнения R- x cos α =R· находим, что AB = x = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4546