ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111440
Темы:    [ Вневписанные окружности ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Острый угол прямоугольного треугольника равен α , а радиус окружности, касающейся гипотенузы и продолжений двух катетов, равен R . Найдите длину гипотенузы этого треугольника.

Решение

Пусть данная окружность с центром O касается продолжения катета AC прямоугольного треугольника ABC в точке M , а острый угол BAC равен α . Обозначим гипотенузу AB через x . Тогда

AC = AB cos α = x cos α, CM = OM = R, AM = CM-AC=R- x cos α.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла, поэтому
OAM = = 90o - .

Из прямоугольного треугольника OAM находим, что
AM = OM ctg (90o - ) = R tg = R· .

Из уравнения R- x cos α =R· находим, что AB = x = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4546

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .