ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111447
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Около окружности описана равнобочная трапеция. Площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания составляет площади трапеции. Найдите отношение оснований трапеции.
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Пусть вписанная окружность касается оснований AD=a и BC=b ( a>b ) трапеции ABCD в точках N и L соответственно, а боковых сторон AB и CD – соответственно в точках K и M . Тогда

BK = BL=LC = CM, AK = AN=ND=DM,

поэтому
= = =, = = =,

значит, KM || AD . Если O – точка пересечения AC и KM , то из подобия треугольников AKO и ABC находим, что
KO = BC· = b· = .

Аналогично, MO = b· . Поэтому KM= KO+OM = . Пусть высота трапеции равна h . Тогда
SABCD = (AD+BC)h = (a+b)h,

а т.к. NL KM , то
SKLMN = KM· LN = · · h = .

По условию задачи SKLMN=SABCD , или
= · (a+b)h, = · (a+b), 3a2-10ab+3b2 = 0, 3()2 -10· + 3=0,

откуда находим, что =3 или = , а т.к. a>b , то =3 .
Также доступны документы в формате TeX

Ответ

3.00
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4553

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .