ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111456
Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Диаметр, основные свойства ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Площадь треугольника (через высоту и основание) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Прямоугольный треугольник с острым углом α расположен внутри окружности радиуса R так, что гипотенуза треугольника является хордой окружности, а вершина прямого угла треугольника лежит на диаметре, параллельном гипотенузе. Найдите площадь этого треугольника.


Решение

Пусть вершина прямого угла C треугольника ABC лежит на диаметре окружности с центром O, параллельном гипотенузе AB,  ∠ A = α.  Опустим перпендикуляр OM из центра окружности на хорду AB. Тогда M – середина гипотенузы AB. Обозначим  CM = AM = BM = x.  Заметим, что
MCO = ∠BMC = 2α. Значит,  OM = MC sin 2α = x sin 2α,  OB² = OM² + MA²,  или  R² = x² sin²2α + x².  Следовательно,
SABC = ½ AB·OM = x² sin 2α = .


Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4562

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .