Задача 111468

Темы:    [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC биссектриса AD делит сторону BC в отношении  BD : DC = 2 : 1.  В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису?

Решение

  Пусть медиана CE и биссектриса AD пересекаются в точке M.

  Первый способ. Через вершину A проведём прямую, параллельную BC и продолжим медиану CE до пересечения с этой прямой в точке T. Из равенства треугольников AET и BEC следует, что  AT = BC = 3CD,  а из подобия треугольников AMT и DMC –  AM : MD = AT : CD = 3 : 1.

  Второй способ. Через точку D проведём прямую, параллельную CE до пересечения со стороной AB в точке K. По теореме Фалеса
EK = ⅓ BE = ⅓ AE.  По той же теореме  AM : MD = AE : EK = 3 : 1.

Ответ

3 : 1,  считая от вершины A.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4574