Задача 111633

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Площадь четырехугольника ] [ Формулы для площади треугольника ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что площадь правильного двенадцатиугольника, вписанного в окружность радиуса 1, равна 3.

Решение

Разрежем двенадцатиугольник тремя большими диагоналями на шесть равных четырёхугольников. Одна из диагоналей такого четырёхугольника – радиус окружности, а вторая – хорда, соответствующая центральному углу в 60°. Поэтому диагонали перпендикулярны и равны, значит, площадь четырёхугольника равна ½.

.

Замечания

Можно, конечно, разрезать двенадцатиугольник и на 12 равнобедренных треугольников с боковой стороной 1 и углом при вершине 30°, площади которых находятся, например, по формуле  S = ½ ab sin C.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4178