Задача 111634

Темы:    [ Параллелограмм Вариньона ] [ Площадь параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Докажите, что все выпуклые четырёхугольники, имеющие общие середины сторон, равновелики.

Решение

Докажем сначала, что площадь четырёхугольника с вершинах в серединах сторон данного выпуклого четырёхугольника в два раза меньше площади данного четырёхугольника. Пусть S – площадь данного четырёхугольника ABCD , s – площадь четырёхугольника, вершины которого – середины K , L , M и N сторон AB , BC , CD и AD соответственно. Поскольку KL и MN – средние линии треугольников ABC и ADC , то

S_{Δ KBL} = S_{Δ ABC}, S_{Δ MDN} = S_{Δ ADC}.
Поэтому
S_{Δ KBL} + S_{Δ MDN} = S_{Δ ABC}+S_{Δ ADC}= (S_{Δ ABC}+S_{Δ ADC}) = S.
Аналогично
S_{Δ KAN} + S_{Δ MCL} = S.
Следовательно,
s=S - S_{Δ KBL} - S_{Δ MDN} -S_{Δ KAN} - S_{Δ MCL} =S- S - S = S.
Что и требовалось доказать. Рассмотрим теперь выпуклые четырёхугольники, имеющие общие середины сторон. По доказанному выше, площадь каждого из них вдвое больше площади четырёхугольника (параллелограмма) с вершинами в общих серединах сторон, следовательно, все эти четырёхугольники равновелики.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4179