ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111635
Темы:    [ Площадь четырехугольника ]
[ Теорема синусов ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность радиуса R ; ϕ – угол между его диагоналями. Докажите, что площадь S четырёхугольника ABCD равна 2R2 sin A sin B sin ϕ .
Также доступны документы в формате TeX

Решение

Известно, что площадь четырёхугольника равна половине произведения его диагоналей на синус угла между ними, значит, S = BD· AC sin ϕ . По теореме синусов находим, что

BD = 2R sin BAD, AC = 2R sin ABC.

Следовательно,
S = BD· AC sin ϕ= · 2R sin BAD· 2R sin ABC sin ϕ= 2R2 sin BAD sin ABC sin ϕ.

Что и требовалось доказать.
Также доступны документы в формате TeX

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 4180

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .