|
|
 |
Условие
Несколько спортсменов стартовали одновременно с одного и того же конца прямой беговой дорожки. Их скорости различны, но постоянны. Добежав до конца дорожки, спортсмен мгновенно разворачивается и бежит обратно, затем разворачивается на другом конце, и т.д. В какой-то момент все спортсмены снова оказались в одной точке. Докажите, что такие встречи всех будут продолжаться и впредь.
Решение
Пусть длина дорожки равна 0,5 (км). Если один из спортсменов в некоторый момент догнал другого, то разность s1 – s2 пройденных ими к этому моменту путей – целое число. Если же два спортсмена встретились, то сумма s1 + s2 – целое число.
По условию в некоторый момент t все числа вида si ± sj (при некотором выборе знака для каждой пары) целые. Но тогда и во все моменты nt (где n – натуральное) соответствующие суммы n(si ± sj) будут целыми.
Замечания
4 балла
