Задача 111655

Темы:    [ Перегруппировка площадей ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

На сторонах AB и CD четырёхугольника ABCD взяты точки M и N так, что  AM : MB = CN : ND.  Отрезки AN и DM пересекаются в точке K, а отрезки BN и CM – в точке L. Докажите, что  S_KMLN = S_ADK + S_BCL.

Решение

  Пусть A₁, M₁ и B₁ – проекции точек соответственно A, M и B на прямую CD, F – точка пересечения отрезков MM₁ и BA₁. Пусть
AM : AB = CN : CD = p : 1.  Тогда  MM₁ = MF + FM₁ = AA₁·^MB/_AB + BB₁·^A₁F/_A1B = (1 – p)AA₁ + pBB₁.  Поэтому
2S_CMD = CD·MM₁ = CD((1 – p)AA₁ + pBB₁) = (1 – p)CD·AA₁ + pCD·BB₁ = ND·AA₁ + NC·BB₁ = 2(S_AND + S_BNC).
  Треугольник CLN – общая часть треугольников CMD и BCN, а треугольник DKN – общая часть треугольников CMD и ADN, поэтому
S_KMLN = S_CMD – S_CLN – S_DKN = (S_AND + S_BNC) – S_CLN – S_DKN = (S_AND – S_DKN) + (S_BNC – S_CLN) = S_ADK + S_BCL.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2902