Задача 111658

Темы:    [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ] [ Правильные многоугольники ] [ Шестиугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Точка O, лежащая внутри правильного шестиугольника, соединена с вершинами. Возникшие при этом шесть треугольников раскрашены попеременно в красный и синий цвет. Докажите, что сумма площадей красных треугольников равна сумме площадей синих.

Решение

  Пусть сторона правильного шестиугольника равна a. Прямые, содержащие стороны шестиугольника, принадлежащие красным треугольникам, задают равносторонний треугольник со стороной 3a. Обозначим его высоту через h, а площадь – через S.
  Сумма расстояний от точки O до сторон этого треугольника равна h (см. задачу 55277). С другой стороны, это сумма высот, проведённых из общей вершины O красных треугольников, значит, сумма площадей красных треугольников равна ^S/₃.
  Аналогично сумма площадей синих треугольников равна ^S/₃.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2905
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	4
Название	Площадь
Тема	Площадь
параграф
Номер	5
Название	Разные задачи
Тема	Площадь (прочее)
задача
Номер	04.028