Задача 111684

Темы:    [ Удвоение медианы ] [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Против большей стороны лежит больший угол ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Автор: Богданов И.И.

Сережа нарисовал треугольник ABC и провёл в нем медиану AD. Затем он сообщил Илье, какова в этом треугольнике длина медианы AD и какова длина стороны AC. Илья, исходя из этих данных, доказал утверждение: угол CAB тупой, а угол DAB острый. Найдите отношение  AD : AC  (и докажите для любого треугольника с таким отношением утверждение Ильи).

Решение

  Пусть E – середина AC. Если  AC : AD = 2,  то треугольник DAE равнобедренный, значит, углы ADE и AED при его основании острые. Осталось заметить, что   ∠DAB = ∠ADE,  ∠A = 180° – ∠AED.
  Если  AC : AD > 2,  то угол DAB может быть прямым; если  AC : AD < 2,  то угол A может быть прямым.

Ответ

1 : 2.

Замечания

6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2008/2009
Номер	30
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	3