|
|
 |
Условие
На сторонах AC и BC неравнобедренного треугольника ABC во внешнюю сторону построены как на основаниях равнобедренные треугольники AB'C и CA'B с одинаковыми углами при основаниях, равными φ. Перпендикуляр, проведённый из вершины C к отрезку A'B', пересекает серединный перпендикуляр к отрезку AB в точке C1. Найдите угол AC1B.
Решение 1
Проведём гомотетию с центром C и коэффициентом 2. Отрезок A'B' перейдёт в отрезок A1B1. Пусть P – точка пересечения A1B1 с CC1. Точки A и P лежат на окружности с диаметром CB1, а точки B и P – на окружности с диаметром CA1, поэтому ∠APB1 = ∠ACB1 = φ = ∠BCA1 = ∠BPA1, следовательно, CC1 – биссектриса угла APB, который равен 180° – 2φ (вне зависимости от того, лежит ли P между C и C1 или нет). Значит, C1 – середина дуги AB описанной окружности треугольника APB, и ∠AC1B = 180° – (180° – 2φ) = 2φ.
Решение 2
Пусть A2, B2, C2 – середины сторон BC, AC, AB. Повернём четырёхугольник B'B2A2A' на 90° вокруг точки B2 и применим к нему гомотетию с центром B2 и коэффициентом ctg φ. Получится четырёхугольник CB2A3C3. CC3 ⊥ B'A', значит, прямые CC3 и CC1 совпадают. С другой стороны,
A3C3 || BC || B2C2 и A3C3 = CA2 = B2C2, то есть B2A3C3C2 – параллелограмм. Поэтому C2C3 || B2A3 ⊥ B2A2 || AB, то есть прямые C2C3 и C2C1 совпадают. Следовательно, C3 совпадает с C1. Но C2C3 : AC2 = A3B2 : B2A2 = ctg φ, откуда ∠AC3C2 = φ.
Ответ
2φ.
Замечания
9 баллов
